Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设函数f（x）的两个极值点分别为x₁，x₂判断下列三个代数式：①x₁+x₂+a，②

x

21

+

x

22

+a2，③

x

31

+

x

32

+a3
中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求出g（a）的最小值．

Answer 1

（I）由f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a．
得f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a，对任意x∈[1，2]，f'（x）＞a²恒成立，
即x²+（a-3）x-3a＞0，（x-3）（x+a）＞0对任意x∈[1，2]恒成立，
又x-3＜0恒成立，所以x+a＜0对x∈[1，2]恒成立，所以a＜-x恒成立，
所以a＜-2．…（4分）
（II）依题意知x₁，x₂恰为方程f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a=0的两根，
所以

(a-3)2-4(a2-3a)＞0 x1+x2=3-a x1x2=a2-3a

解得-1＜a＜3…（5分）
所以①x₁+x₂+a=3为定值，…（6分）
②

x

21

+

x

22

+a2=(x1+x2)2-2x1x2+a2=9为定值，…（7分）
③

x

31

+

x

32

+a3=(x1+x2)(

x

21

-x1x2+

x

22

)+a3=3a3-9a2+27不是定值
即g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3），可得g'（a）=9a²-18a，
当a∈[-1，0]时，g'（a）＞0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[-1，0]是增函数，
当a∈[0，2]时，g'（a）＜0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[-1，0]是减函数，
当a∈[2，3]时，g'（a）＞0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[2，3]是增函数，
因此，g（a）在（-1，3）上的最小值是g（-1）与g（2）中较小的一个，
又∵g（-1）=15；g（2）=15
∴g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3）的最小值为15（a=2时取到）．…（12分）