Question

（2012•怀化二模）在锐角三角形中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量

m

=（2sinB，2-cos2B），

n

=（1+sinB，-1），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，且三角形的面积为

3 3

2

，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）根据两斜率垂直时满足的关系式，由两斜率坐标列出关系式，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后求出sinB的值，由B为锐角，即可确定出B的度数；
（2）由B及sinB的值，以及已知的面积，利用面积公式列出关系式，再利用余弦定理列出关系式，联立求出a+c的值即可．

解答：解：（1）∵向量

m

=（2sinB，2-cos2B），

n

=（1+sinB，-1），且

m

⊥

n

，
∴2sinB（1+sinB）-（2-cos2B）=0，即2sinB+2sin²B-2+cos2B=2sinB+2sin²B-2+1-2sin²B=2sinB-1=0，即sinB=

1

2

，
∵B为锐角，∴B=30°；
（2）∵sinB=

1

2

，b=

3

，S=

3 3

2

，
∴S=

1

2

acsinB=

1

4

ac=

3 3

2

，即ac=6

3

，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-

3

ac=a²+c²-18，即a²+c²=21，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=21+12

3

，
则a+c=

21+12 3

=2

3

+3．

点评：本题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．