Question

已知关于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2

3

，m²+a²m-8a=0，m²+b²m-8b=0．
求：（1）m的值；
（2）△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先求出方程的两个根，然后根据这两个根都是正整数写出m的可能的情况，求出m的值．
（2）由（1）得出的m的值，然后代入将m²+a²m-8a=0，m²+b²m-8b=0进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．

解答：解：（1）方程有两个实数根，则m²-1≠0，
解方程得x1=

6

m+1

，x2=

3

m-1

．由题意，得

m+1=1，2，3，6 m-1=1，3

即

m=0，1，2，5 m=2，4.

故m=2．
（2）把m=2代入两等式，化简得a²-4a+2=0，b²-4b+2=0，
当a=b时，a=b=2±

2

．
当a≠b时，a、b是方程x²-4x+2=0的两根，而△＞0，
由韦达定理得，a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．
①a≠b，c=2

3

时，由于a²+b²=（a+b）²-2ab=16-4=12=c²
故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S_△ABC=

1

2

ab=1．
②a=b=2-

2

，c=2

3

时，因2(2-

2

)＜2

3

，
故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③a=b=2+

2

，c=2

3

时，因2(2+

2

)＞2

3

，故能构成三角形．
S_△ABC=

1

2

×2

3

×

(2+ 2 )2-( 3 )2

=

9+12 2

综上，△ABC的面积为1或

9+12 2

．

点评：本题考查了二元一次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题解题的关键是分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状．