Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC的中点，AD=2，AB=1，SP与平面ABCD所成角为45°．
（1）求证：PD⊥平面SAP；
（2）求三棱锥S-APD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用勾股定理证明AP⊥PD，由 SA⊥底面ABCD，可得SA⊥PD，所以PD⊥平面SAP．
（2）利用SA⊥底面ABCD，则SA为三棱锥S-APD的高，再由（1）知，S_△APD的面积，再利用三棱锥S-APD的体积为

1

3

×S_△APD×SA，可得结论．

解答：（1）证明：在矩形ABCD中，
∵AD=2，P为BC边的中点，∴BP=1，
又∵AB=1，∴AP=PD=

2

∵AD=2，∴AD²=AP²+PD²，∴AP⊥PD，
∵SA⊥底面ABCD，PD?底面ABCD，∴SA⊥PD．
∵SA∩AP=A，AP⊥PD，SA⊥PD
∴PD⊥平面SAP
又∵PD?平面SPD，
∴平面SPD⊥平面SAP；
（2）解：∵SA⊥底面ABCD，
∴SA即为三棱锥S-APD的高，
∵SP与平面ABCD所成角为45°．
∴SA=AP=

2

由（1）知，AP⊥PD，
则S_△APD=

1

2

AP•PD
故三棱锥S-APD的体积=

1

3

×S_△APD×SA
=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

=

2

3

．

点评：本题考查线面、面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．