精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设数列{a_n}的前项n和为S_n，点 $数学公式$ 均在函数y=2x-1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 $数学公式$ 是数列{b_n}的前n项和，求证：T_n＜1．

解：（1）由条件知 $\text{[math]}$ =2n-1，即s_n=2n²-n．…（2分）
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（2n²-n）-[2（n-1）²-（n-1）]
=4n-3．…（4分）
又n=1时，a₁=s₁=1符合上式，
所以a_n=4n-3（n∈N₊）；…（6分）
证明：（2）b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）．…（8分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=[（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]
=（1- $\text{[math]}$ ）．…（10分）
∵n∈N₊∴- $\text{[math]}$ ＜0，
∴1- $\text{[math]}$ ＜1，即T_n＜1．…（12分）
分析：（1）由题意可得s_n=2n²-n，利用n=1时a₁=s₁=1，n≥2时，a_n=s_n-s_n-1观察是合为一式，还是分段表示；
（2）由（1）知a_n=4n-3，从而可利用裂项法求得b_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，继而可求T_n=b₁+b₂+…+b_n的值，可证得T_n＜1．
点评：本题考查数列的递推关系，考查等差数列的通项公式及数列的裂项法求和，求得a_n=4n-3是关键，属于中档题．

练习册系列答案

学习总动员期末加暑假光明日报出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>