Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）在C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立?若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，详见解析.

【解析】

（1）设，可得直线L方程为，利用点到直线距离公式即可得，利用离心率即可得，再利用求得后即可得解；

（2）设，，则，按照直线L的斜率是否为0分类，当直线L斜率不为0时，设直线L的方程为，联立方程组结合韦达定理即可得、，将点P坐标代入椭圆方程求得后即可得解.

（1） 设，当L的斜率为1时，其方程为，

则原点O到直线L的距离为，解得，

由椭圆的离心率，可得，，

所以椭圆方程为；

（2）假设C上存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立.

设，，则，

由（1）知，椭圆C的方程为，

当直线L斜率为0时，点，不合题意；

当直线L斜率不为0时，设直线L的方程为，

由，消去x化简得，，

所以，

所以，

所以点，

又因为点在椭圆上，所以，

化简得，解得或（舍去），

当时，点，直线L的方程为即；

当时，点，直线L的方程为即.

综上，椭圆C上存在点，使得当L绕F转到某一位置时，有成立，此时直线方程为.