Question

【题目】如图，一颗棋子从三棱柱的一个项点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点处，若移了次后，棋子落在上底面顶点的概率记为.

（1）求，的值：

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1），.（2）见解析

【解析】

（1）根据题意可知在上底面点处，移了次可落在的任意一点，可得；分类讨论当第一次落在或落在处的概率，即可得.

（2）根据移了次后棋子落在上底面顶点的概率为，可知落在下底面顶点的概率为，进而可得与的递推公式，利用构造数列法可得的通项公式；利用数学归纳法，即可证明成立.

（1）从三棱柱的一个项点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，棋子在上底面点处，移了次可落在的任意一点，

所以，

若移次，则再移到上底面的概率为，移到上底面的概率为，

所以.

（2）证明：因为移了次后棋子落在上底面顶点的概率为，故落在下底面顶点的概率为.

于是移了次后棋子落在上底面顶点的概率为.

从而.

所以数列是等比数列，其首项为，公比为.

所以.

即.用数学归纳法证明：

①当时，左式，右式，因为，所以不等式成立.

当时，左式，右式，因为，所以不等式成立.

②假设时，不等式成立，即.

则时，左式.

要证，只要证.

只要证.

只要证.

只要证.

因为，所以，

所以.即时，不等式也成立.

由①②可知，不等式对任意的都成立.

不等式得证.