Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，是的中点，是上一点，且

（1）求证:平面；

（2）若求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取PA的中点M，连接MD，ME，证明四边形MDFE是平行四边形，则，再由直线与平面平行的判定可得面PAD；

（2）过点P作于点H，则平面ABCD，以H为坐标原点，HA所在直线为y轴，过点H且平行于AB的直线为z轴，PH所在直线为x轴建立空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

（1）如图，取的中点，连接.

则，.

又，，所以，，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为面，面，所以

（2）过点作于点，则平面，以为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

在等腰三角形中，，，

因为，所以，

解得.

则，所以，所以.

易知平面的一个法向量为，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.