【题目】已知函数.
(1)若过点的直线与曲线相切,求直线的斜率的值;
(2)设,若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)设直线的方程为,设切点坐标为,根据题意可得出关于、的方程组,求出、的值,进而可得出的值;
(2)根据题意知,当时,,当时,,然后求得函数的导数,对实数的取值进行分类讨论,利用导数分析函数的单调性,验证条件“当时,,当时,”是否满足,由此可得出实数的取值范围.
(1)因为直线过点,不妨设直线的方程为,由题意得,
设切点为,则,解得.
直线过点,则有,解得,即直线的斜率为;
(2),.
①若,则当时,,函数在上单调递减,
此时,即,不合乎题意;
②若,则,当且仅当时等号成立.
(i)当时,,函数在上单调递增.
又,所以当时,;当时,.
于是有;
(ii)当时,记,则,
当时,,所以函数在上单调递减,
此时,即,不合乎题意;
(iii)若,记,则,
当时,,所以函数在上单调递减,
此时,即,不合乎题意.
综上所述,实数的取值范围是.
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【题目】已知椭圆:()的右顶点为.左、右焦点分别为,,过点且垂直于轴的直线交椭圆于点(在第象限),直线的斜率为,与轴交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线与椭圆交于、两点(、不与、重合),若,求直线的方程.
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【题目】某高中社团进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查,若开通“微博”的称为“时尚族”,否则称为“非时尚族”,通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
完成以下问题:
(Ⅰ)补全频率分布直方图并求n,a,p的值;
(Ⅱ)从[40,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛,其中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和期望E(X)..
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【题目】如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,A1D与AD1交于点E,AA1=AD=2AB=4.
(1)证明:AE⊥平面ECD.
(2)求直线A1C与平面EAC所成角的正弦值.
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【题目】已知椭圆E:,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与E有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
若,点K在椭圆E上,、分别为椭圆的两个焦点,求的范围;
证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
若l过点,射线OM与椭圆E交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时直线l斜率;若不能,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值为M,正实数a,b满足a+b=M.
(1)求2a2+b2的最小值;
(2)求证:aabb≥ab.
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