Question

【题目】已知椭圆：（）的右顶点为．左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线交椭圆于点（在第象限），直线的斜率为，与轴交于点．

（1）求椭圆的标准方程;

（2）过点的直线与椭圆交于、两点（、不与、重合），若，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．

【解析】

（1）根据条件建立方程组进行求解；

（2）先验证设直线的斜率不存在时是否符合题意，再设直线的斜率为，联立方程组，根与系数的关系 ，结合，可将（或的坐标用表示，再利用点在椭圆上，求得，从而求得的方程.

解：（1），，由题意得

解得，

因此椭圆的标准方程为．

（2）由得，即

若直线的斜率不存在，则，，不满足

因此直线的斜率存在，设为，

由，得

恒成立

设，，则

由，，得

，从而

即

代入椭圆方程，得

解得，即

因此直线的方程为，即或．