【题目】如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,A1D与AD1交于点E,AA1=AD=2AB=4.
(1)证明:AE⊥平面ECD.
(2)求直线A1C与平面EAC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)证明AA1⊥CD,CD⊥AD,推出CD⊥平面AA1D1D,得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD;
(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法求解直线A1C与平面EAC所成角的正弦值.
(1)证明:因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱,
所以AA1⊥平面ABCD,则AA1⊥CD.
又CD⊥AD,AA1∩AD=A,平面AA1D1D,
所以CD⊥平面AA1D1D,所以CD⊥AE.
因为AA1⊥AD,AA1=AD,所以AA1D1D是正方形,所以AE⊥ED.
又CD∩ED=D,平面ECD.
所以AE⊥平面ECD.
(2)
如图,以所在直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立如图所示的坐标系,A1D与AD1交于点E,AA1=AD=2AB=4.
A(0,0,0),A1(0,0,4),C(2,4,0),D(0,4,0),
所以E(0,2,2),,,(2,4,﹣4),
设平面EAC的法向量为(x,y,z),可得,
即,不妨(﹣2,1,-1),
所以直线A1C与平面EAC所成角的正弦值为.
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【题目】某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组: ,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据“25周岁以上组”的频率分布直方图,求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数);
(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
(3)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成列联表,并判断是否有 的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”?
生产能手 | 非生产能手 | 合计 | |
25周岁以上组 | |||
25周岁以下组 | |||
合计 |
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附:
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴的极坐标中,圆的方程为.
(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(2)若点的坐标为,圆与直线交于两点,求的值.
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【题目】已知为坐标原点,椭圆的离心率为,双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点为椭圆上的动点,三点共线,直线的斜率分别为.
(i)证明:;
(ii)若,设直线过点,直线过点,证明:为定值.
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【题目】如图,点是以为直径的圆上的动点(异于,),已知,,平面,四边形为平行四边形.
(1)求证:平面;
(2)当三棱锥的体积最大时,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】已知抛物线:的焦点为,直线:与抛物线交于,两点.
(1)若,求直线的方程;
(2)过点作直线交抛物线于,两点,若线段,的中点分别为,,直线与轴的交点为,求点到直线与距离和的最大值.
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【题目】设数列:A:a1,a2,…,an,B:b1,b2,…,bn.已知ai,bj∈{0,1}(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),定义n×n数表,其中xij.
(1)若A:1,1,1,0,B:0,1,0,0,写出X(A,B);
(2)若A,B是不同的数列,求证:n×n数表X(A,B)满足“xij=xji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n;ij)”的充分必要条件为“ak+bk=1(k=1,2,…,n)”;
(3)若数列A与B中的1共有n个,求证:n×n数表X(A,B)中1的个数不大于.
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