Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，点是线段的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接，交于点，利用中位线定理可证得，从而得证；

（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求两个面的法向量，利用向量夹角公式求解即可.

（1）连接，交于点，连接，，

因为棱柱的侧面是平行四边形，所以是的中点．

又因为是中点，所以是的中位线．

所以．

又因为平面，平面．

所以平面．

（2）连接，，．

因为，．

故， 都为等边三角形．

因为是中点，所以，，

因为，，所以，．

所以．

所以，，两两垂直，

以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

设平面的法向量，则，

取，得，

平面的法向量，

设二面角的平面角为，显然为锐角，故，

所以二面角的余弦值为．