Question

【题目】若关于x的不等式e2x﹣alnxa恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A.[0，2e]B.（﹣∞，2e]C.[0，2e2]D.（﹣∞，2e2]

Answer 1

【答案】C

【解析】

讨论a＜0时，f（x）＝e2x﹣alnx无最小值，不符题意；检验a＝0时显然成立；讨论a＞0时，求得f（x）的导数和极值点m、极值和最值，解不等式求得m的范围，结合a＝2me2m，可得所求范围．

解：当a＜0时，f（x）＝e2x﹣alnx为（0，+∞）的增函数（增函数+增函数=增函数），此时时，f（x），所以不符合题意；

当a＝0时，e2x﹣alnxa即为e2x≥0显然成立；

当a＞0时，f（x）＝e2x﹣alnx的导数为＝2e2x，

由于y＝2e2x在（0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数），

设＝0的根为m，即有a＝2me2m，.

当0＜x＜m时，＜0，f（x）单调递减；当x＞m时，＞0，f（x）单调递增，

可得x＝m处f（x）取得极小值，且为最小值e2m﹣alnm，

由题意可得e2m﹣alnma，即alnma，

化为m+2mlnm≤1，设g（m）＝m+2mlnm，＝1+2（1+lnm），

所以函数在内单调递减，在单调递增.

当m＝1时，g（1）＝1，当时，.

可得m+2mlnm≤1的解为0＜m≤1，

设

所以函数在单调递增.

则a＝2me2m∈（0，2e2]，

综上可得a∈[0，2e2]，

故选：C．