Question

【题目】已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；

（Ⅲ）设，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）把点A坐标代入椭圆的方程得.由的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程.

（Ⅱ）设直线l的方程为，，.联立直线l与椭圆C的方程可得关于x的一元二次方程.，进而解得k的取值范围.

（Ⅲ）因为，，，，写出直线的方程，令，解得.点S的坐标为.同理可得：点T的坐标为.用坐标表示，，，代入，，得.同理.由（Ⅱ）得，，代入，化简再求取值范围.

（Ⅰ）因为椭圆C：经过点，

所以解得.

由的面积为可知，，

解得，

所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）设直线l的方程为，，.

联立，消y整理可得：.

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以，解得.

因为，所以k的取值范围是.

（Ⅲ）因为，，，.

所以直线的方程是：.

令，解得.

所以点S的坐标为.

同理可得：点T的坐标为.

所以，，.

由，，

可得：，，

所以.

同理.

由（Ⅱ）得，，

所以

所以的范围是.