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【题目】如图,点是以为直径的圆上的动点(异于),已知平面,四边形为平行四边形.

1)求证:平面

2)当三棱锥的体积最大时,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】1)证明见解析;(2.

【解析】

1)根据平行四边形的性质、平行线的性质,结合线面垂直的性质、直径所对圆周角的性质、线面垂直的判定理进行证明即可;

2)根据三棱锥的体积公式,结合基本不等式可以求出的长.

法一:以为坐标原点,以轴建立空间直角坐标系,利用空间平面向量夹角公式,结合线面垂直的性质进行求解即可;

法二:根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平行线的性质可以证明出平面平面的交线与BC平行,在圆内作交圆于点,可以证明出直线是平面平面的交线,这样利用线面垂直的判定定理,结合二面角的定义进行求解即可.

1)因为四边形为平行四边形,所以.

因为平面,所以平面,所以.

因为是以为直径的圆上的圆周角,所以

因为平面

所以平面.

2中,设

所以

因为,所以

所以

当且仅当,即时,三棱锥体积的最大值为.

法一:以为坐标原点,以轴建立空间直角坐标系.

所以,平面的法向量

设平面的法向量

所以,即

所以.

法二:因为平面平面

所以平面

设平面平面,则

,所以

又点是平面与平面公共点,所以过点

过点在圆内作交圆于点,则直线重合,

所以为平面与平面的交线,

因为,所以

又因为平面,所以,所以

所以为两个平面所成的锐二面角的平面角,

中,

所以

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

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1)看过中国女排的纪录片后,某大学掀起“学习女排精神,塑造健康体魄”的年度主题活动,一段时间后,学生的身体素质明显提高,将该大学近5个月体重超重的人数进行统计,得到如下表格:

月份x

1

2

3

4

5

体重超重的人数y

640

540

420

300

200

若该大学体重超重人数y与月份变量x(月份变量x依次为12345…)具有线性相关关系,请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下?

2)在某次排球训练课上,球恰由A队员控制,此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递,已知每当球由A队员控制时,传给B队员的概率为,传给C队员的概率为;每当球由B队员控制时,传给A队员的概率为,传给C队员的概率为;每当球由C队员控制时,传给A队员的概率为,传给B队员的概率为.为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.

i)若B队员控制球的次数为X,求

ii)若,证明:为等比数列,并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.

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2:参考数据:.

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