Question

【题目】如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，平面，四边形为平行四边形.

（1）求证：平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质，结合线面垂直的性质、直径所对圆周角的性质、线面垂直的判定理进行证明即可；

（2）根据三棱锥的体积公式，结合基本不等式可以求出的长.

法一：以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间平面向量夹角公式，结合线面垂直的性质进行求解即可；

法二：根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平行线的性质可以证明出平面平面的交线与BC平行，在圆内作交圆于点,可以证明出直线是平面平面的交线，这样利用线面垂直的判定定理，结合二面角的定义进行求解即可.

（1）因为四边形为平行四边形，所以.

因为平面，所以平面，所以.

因为是以为直径的圆上的圆周角，所以，

因为，平面，

所以平面.

（2）中，设，，

所以，

因为，，所以，

所以

，

当且仅当，即时，三棱锥体积的最大值为.

法一：以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系.

则，，，，

所以，，平面的法向量，

设平面的法向量，，

所以，即，

所以.

法二：因为，平面，平面，

所以平面，

设平面平面，则，

又，所以，

又点是平面与平面公共点，所以过点，

过点在圆内作交圆于点，则直线与重合，

所以为平面与平面的交线，

因为，，所以，

又因为平面，所以，所以，

所以为两个平面所成的锐二面角的平面角，

在中，

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.