Question

【题目】中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.

（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：

月份x	1	2	3	4	5
体重超重的人数y	640	540	420	300	200

若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？

（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.

（i）若，B队员控制球的次数为X，求；

（ii）若，，，，，证明：为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.

附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.

附2：参考数据：，.

Answer 1

【答案】（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；（2）（i）（ii）证明见解析；.

【解析】

（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并由此进行预测.

（i）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列，进而计算出.

（ii）证明部分：法一：通过证明证得为等比数列；法二：通过证明证得为等比数列.

求得数列的通项公式，由此判断出.

（1）由已知可得：，

，

又因为，，

所以，

所以，

所以，

当时，，

所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.

（2）（i）由题知X的可能取值为：0，1，2；

；

；

；

的分布列为：

所以.

（ii）（法一）由，，

两式相加得：.

因为，

所以，，

代入等式得，即

所以，

因为，，

所以，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，

即，

因此经过200次传球后A队员控制球的概率

.

（法二）由题知：，所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

又因为，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，即，

因此经过200次传球后A队员控制球的概率.