Question

【题目】在极坐标系中，方程C:表示的曲线被称作“四叶玫瑰线”(如图)

（1）求以极点为圆心的单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标和直角坐标；

（2）直角坐标系的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合.求直线l:上的点M与四叶攻瑰线上的点N的距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）极坐标为，直角坐标为；（2）

【解析】

（1）先求出以极点为圆心的单位圆的极坐标方程，与玫瑰线方程联立即可求出交点的极坐标；

（2）首先可得四叶玫瑰线关于直线对称，将直线方程转化为普通方程，直线与直线垂直，且玫瑰线在直线的同侧，即可得到距离的最小值；

解：（1）因为

所以，

取，得

从而得到单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标为，

化成直角坐标就是

（2）直观发现，四叶玫瑰线关于直线对称.

事实上，将极坐标方程化作直角坐标方程得，

将互换后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线对称；

将换作，换作后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线对称；

直线的普通方程是，

直线与直线垂直，且玫瑰线在直线的同侧，

故的最小值等于点到直线的距离：

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