Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）求出导数后，对分类讨论，利用导数可求得函数的单调区间；

（2）分离参数后得在上恒成立，再构造函数利用导数求出最大值即可得到答案.

（1），

由定义域为，所以.

当时，，由，得，由，得，

所以函数的单调递减区间为，递增区间为；

当时，令，则或，

当时，，恒成立，

所以函数的递增区间为，无减区间；

当时，，由，得或，由，得，

所以函数的单调递减区间为，递增区间为和；

当时，，由，得或，由，得，

所以函数的单调递减区间为，递增区间为和.

综上，当时，函数的单调递减区间为，递增区间为；

当时，函数的递增区间为，无减区间；

当时，函数的单调递减区间为，递增区间为和；

当时，函数的单调递减区间为，递增区间为和.

（2）依题意得，在恒成立.

①当时，不等式显然成立；

②当时，，即成立，

设，则，

设，则在单调递减，，

所以，当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减.

所以

所以，解得.

综上，当时，.