Question

【题目】已知椭圆E：（）的焦点为，以原点O为圆心，椭圆E的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点F的直线l交椭圆E于M，N两点，点P的坐标为，直线与x轴交于A点，直线与x轴交于B点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）根据直线与圆相切列出对应方程，再结合椭圆的基本知识计算求解即可；

（2）先讨论l与y轴重合时的情况，再在l与y轴不重合的情况下，设，，l的方程为，将之与椭圆方程联立，得到韦达定理.解法一：利用韦达定理化简证明，从而证明出；解法二：设，，：，：，然后根据方程求出，再结合韦达定理证明，从而证明出.

（1）由已知得，，因此，

所以椭圆E的方程为.

（2）解法一：

①当l与y轴重合时，由题意知.

②当l与y轴不重合时，设l的方程为，，，则，，

直线，的斜率之和为，

由，得，

将代入，得，

，

所以，，

所以，

从而，故，的倾斜角互补，

所以，因此.

综上所述，.

解法二：

①当l与y轴重合时，由题意知.

②当l与y轴不重合时，设l的方程为，，，则，，

将代入得.

，

所以，.

设：，：，，

易知，，

在中，令得，

在中，令得，

于是，

由，得

，

由于，因此，

所以点A与点B关于原点O对称，

而点P在y轴上，因此.

综上所述，.