【题目】设,函数
.
(1)求的单调递增区间;
(2)设,问
是否存在极值,若存在,请求出极值,若不存在,请说明理由;
(3)设是函数
图象上任意不同的两点,线段
的中点为
,直线
的斜率为
,证明:
.
【答案】(1)当时,
的单调递增区间为
;当
时,
的单调递增区间为
(2)时,
无极值;
,
有极大值
,无极小值.(3)见解析.
【解析】试题分析:
本题考查导数在研究函数中的应用以及不等式的证明。(1)求导后根据导函数的符号判断求解。(2)由题意得,求导数后根据函数的单调性求极值即可。(3)由题意要证
,即证
,即证
,即证
,令
,
,故只需证
,构造函数根据单调性证明即可。
试题解析:
(1)解:函数的定义域为上,
由题意得。
①当时,则
恒成立,
上单调递增。
②当时,由
,得
,
∴的单调递增区间为
。
综上可得,当时,
的单调递增区间为
;当
时,
的单调递增区间为
(2)由题意得,
∴
当时,恒有
,
在
单调递增,故
无极值;
当时,令
,得
当,
,
单调递增;
当,
,
单调递减.
∴当时,
有极大值,且极大值为
,无极小值。
综上所述,当时,
无极值;当
,
有极大值
,无极小值.
(3)证明:由题意得
又,
∴。
要证,即证
,
设,
即证,
即证
设,只需证
即证,
设,
则
∴在
上单调递增,
因此,
∴。
∴成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【2018河南南阳市一中上学期第三次月考】已知点为坐标原点,
是椭圆
上的两个动点,满足直线
与直线
关于直线
对称.
(I)证明直线的斜率为定值,并求出这个定值;
(II)求的面积最大时直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】数列{an}满足:a1=,a2=
,且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1对任何的正整数n都成立,则
的值为( )
A. 5032 B. 5044 C. 5048 D. 5050
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=1(n∈N),数列{bn}是公差d不等于0的等差数列,且满足:b1=
,而b2,b5,ba14成等比数列.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= (e为自然对数的底).若函数g(x)=f(x)﹣kx恰好有两个零点,则实数k的取值范围是( )
A.(1,e)
B.(e,10]
C.(1,10]
D.(10,+∞)
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