Question

数列{a_n}满足a1=

1

2

，an+1=

1

2-an

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设ln（1+x）＜x在x＞0时成立，数列{a_n}的前n项和为S_n，证明Sn＜n-ln(

n+2

2

)．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，推出{

1

an-1

}是首项为-2，公差为-1的等差数列．求出通项公式，然后求解即可．
（2）利用ln（1+x）＜x在x＞0时成立，推出数列a_n＜1-ln（n+2）+ln（n+1），的关系式，通过数列消项求和，推出结果．

解答：解：（1）∵a1=

1

2

，an+1=

1

2-an

，
∴an+1-1=

1

2-an

-1=

an-1

2-an

，
∴

1

an+1-1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
∴{

1

an-1

}是首项为-2，公差为-1的等差数列．
∴

1

an-1

=-n-1，所以an=

n

n+1

．
数列{a_n}的通项公式为an=

n

n+1

．
（2）∵ln（1+x）＜x在x＞0时成立，
从而ln（1+

1

n+1

）＜

1

n+1

，1-

1

n+1

＜1-ln（1+

1

n+1

），
∴an=1-

1

n+1

＜1-ln（n+2）+ln（n+1），
S_n＜（1-ln3+ln2）+（1-ln4+ln3）+…+[1-ln（n+2）+ln（n+1）]=n+ln（n+2）-ln2=n-ln（

n+2

2

）
∴Sn＜n-ln(

n+2

2

)

点评：本题考查数列通项公式的求法，数列前n项和的求法，数列与不等式的综合应用，考查转化思想、计算能力．