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    设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：

    ①f(－1)＝f(1)＝0；

    ②对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

    (1)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

    (2)证明：对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1．

    答案：
    解析：


    提示：

    本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．


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    科目：高中数学 来源：中学教材标准学案　数学　高二上册 题型：044

    设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：

    ①f(－1)＝f(1)＝0；

    ②对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

    (1)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

    (2)判断函数g(x)＝是否满足题设条件；

    (3)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数y＝f(x)，且使得对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．

    若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：设计选修数学－1-2苏教版 苏教版 题型：044

    (精典回放)设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：①f(－1)＝f(1)＝0；②对任意的μ、v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|μ－v|

    (1)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

    (2)证明：对任意的μ、v∈[－1，1]，都有

    |f(u)－f(v)|≤1；

    (3)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y＝f(x)，且使得：

    |f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，当μ、v∈[0，]．

    |f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，当μ、v∈[，1]．

    若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：泰州市2006～2007学年度第一学期期末联考高3数学试题 题型：022

    设y＝f(x)是定义在R上的函数，给定下列三个条件：(1)y＝f(x)是偶函数；(2)y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；(3)T＝2为y＝f(x)的一个周期．如果将上面(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有________个．

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    科目：高中数学 来源：江西省遂川中学2008届高三第一次月考数学试卷(理) 题型：044

    设y＝f(x)是定义在R上的函数，如果存在A点，对函数y＝f(x)的图像上任意点P，P关于点A的对称点Q也在函数y＝f(x)的图像上，则称函数y＝f(x)关于点A对称，A称为函数f(x)的一个对称点．对于定义在R上的函数f(x)，可以证明点A(a，b)是f(x)图像的一个对称点的充要条件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．

    (1)求函数f(x)＝x3＋3x2图像的一个对称点；

    (2)函数

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    科目：高中数学 来源：天津市新人教A版数学2012届高三单元测试8：奇偶性及周期性 新人教A版 题型：044

    设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，对任意的，都有，且f(1)＝a＞0

    (1)求；

    (2)证明：y＝f(x)是周期函数．

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