Question

若关于x的不等式x²-4x+4-m²≤0在[-1，3]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：将不等式x²-4x+4-m²≤0转化为x²-4x≤m²-4在[-1，3]上恒成立，设f（x）=x²-4x，然后求函数f（x）的最大值即可．

解答：解：因为x²-4x+4-m²≤0，所以x²-4x≤m²-4，
设f（x）=x²-4x，要使不等式x²-4x+4-m²≤0在[-1，3]上恒成立，
则只需求出函数f（x）在[-1，3]上的最大值．
因为f（x）=x²-4x=（x-2）²-4，对称轴为x=2，
因为-1≤x≤3，所以当x=-1或x=3时，函数取得最大值为5，
由m²-4≥5，得m²≥9，解得m≥3或m≤-3．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值横成立，利用函数的最值求参数的范围是解决本题的关键．