Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1-a_n+2a_na_n+1=0．
（1）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）记数列{a_na_n+1}的前n项和为S_n，求证：S_n＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过在a_n+1-a_n+2a_na_n+1=0两边同除以a_na_n+1、整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）知b_n=2n+1，裂项可知a_na_n+1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），并项相加即得结论．

解答 证明：（Ⅰ）由a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1-a_n+2a_na_n+1=0，可知a_n≠0，
故在a_n+1-a_n+2a_na_n+1=0两边同除以a_na_n+1，
整理得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，即b_n+1-b_n=2，
故数列{b_n}是以2为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=2n+1，所以a_n=$\frac{1}{2n+1}$，
则a_na_n+1=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）
＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，裂项、并项求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．