Question

12．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为圆心，|FP|为半径的圆与C的准线l相切．
（1）求p的值；
（2）设l与x轴交点E，过点E作一条直线与抛物线C交于A、B两点，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线和圆相切的条件：d=r，结合条件，即可求得p=2；
（2）求出抛物线的方程，设出A，B的坐标，以及垂直平分线与x轴的交点的横坐标，由垂直平分线的性质，解得横坐标，再由直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，即可得到所求范围．

解答 解：（1）因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切，
所以圆的半径为p，即|FP|=p，
所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为l，
所以焦点F的坐标为（1，0），从而p=2；
（2）由（1）知抛物线C的方程为y²=4x，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的垂直平分线与x轴的交点D（x₀，0），
则由|DA|=|DB|，y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
得（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²，
化简得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+2①
设直线AB的方程为x=my-1，代入抛物线C的方程，
得y²-4my+4=0，由△＞0得m²＞1，
由根与系数关系得y₁+y₂=4m，
所以x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2=4m²-2，
代入①得x₀=2m²+1＞3，
故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是（3，+∞）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意正确设出直线方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．