Question

12．已知有1张假纸币和4张不同面值的真纸币，现需要通过权威检测工具找出假纸币，将假纸币上交银行，每次随机检测一张纸币，检测后不放回，直到检测出假纸币或者检测出4张真纸币时，检测结束．
（Ⅰ）求第1次检测的纸币是假纸币的概率；
（Ⅱ）求第3次检测的纸币是假纸币的概率；
（Ⅲ）若每检测一张纸币需要2分钟，设X表示检测结束所需要的时间，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等可能事件概率计算公式能求出第1次检测的纸币是假纸币的概率．
（Ⅱ）由相互独立事件概率乘法公式能求出第3次检测的纸币是假纸币的概率．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为2，4，6，8，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意第1次检测的纸币是假纸币的概率：p₁=$\frac{1}{5}$．
（Ⅱ）第3次检测的纸币是假纸币的概率：p₂=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{5}$．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为2，4，6，8，
P（X=2）=$\frac{1}{5}$，
P（X=4）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=6）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=8）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
∴X的分布列为：

X	2	4	6	8
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$

EX=$2×\frac{1}{5}+4×\frac{1}{5}+6×\frac{1}{5}+8×\frac{2}{5}$=$\frac{28}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用．