Question

11．已知圆中一段弧的长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，设△ABC的内切圆的半径r=1．在△BOD中，$\frac{BC}{2}$=BD=$\frac{OD}{tan30°}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
设△ABC的内切圆与边BC相切于点D，其圆心为O点，半径r=1．
连接OB，则OB平分∠ABC，∴∠OBD=30°．
在△BOD中，$\frac{BC}{2}$=BD=$\frac{OD}{tan30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，
解得BC=2$\sqrt{3}$．
∵圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，
∴这段弧所对的圆心角的弧度数为2$\sqrt{3}$．
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆的性质、正三角形的性质、含30°角的直角三角形的边角关系，属于基础题．