Question

16．已知直线l：y=kx（k＞0），圆C₁：（x-1）²+y²=1与C₂：（x-3）²+y²=1，若直线l被圆C₁，C₂所截得两弦的长度之比是3，则实数k=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 分别求出弦长，利用直线l被圆C₁，C₂所截得两弦的长度之比是3，建立方程，即可求出实数k．

解答 解：由题意，圆C₁：（x-1）²+y²=1的圆心（1，0）到直线l：y=kx（k＞0）的距离=$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
弦长为2$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
圆C₂：（x-3）²+y²=1的圆心（3，0）到直线l：y=kx（k＞0）的距离=$\frac{3k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
弦长为2$\sqrt{1-\frac{9{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{1-8{k}^{2}}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵直线l被圆C₁，C₂所截得两弦的长度之比是3，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3×$\frac{2\sqrt{1-8{k}^{2}}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴k=$±\frac{1}{3}$．
∵k＞0
∴k=$\frac{1}{3}$
故答案为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用．