Question

5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则二面角B-AC-D的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC∩BD=O，由△ABC与△ACD都为等边三角形，AB=1．可得AC⊥BD，OB=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此折起后∠BOD是二面角B-AC-D的平面角．利用等边三角形的性质即可得出结论．

解答 解：如图所示，
在菱形ABCD中，对角线AC∩BD=O，
由△ABC与△ACD都为等边三角形，AB=1．
∴AC⊥BD，OB=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴折起后∠BOD是二面角B-AC-D的平面角．
又BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD=$\frac{π}{3}$．
∴sin∠BOD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了菱形与等边三角形的性质、二面角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．