Question

1．已知函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（1，0），f'（x）是函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数，若x＞0时，xf'（x）＞1恒成立，则不等式f（x）≤lnx的解集是（0，1]．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），确定g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，f（x）≤lnx，化为g（x）≤0=g（1），即可得出结论．

解答 解：构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），
则g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{x}$=$\frac{xf′（x）-1}{x}$＞0，
∴g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，
∵f（x）≤lnx，
∴g（x）≤0=g（1），
∴0＜x≤1，
故答案为：（0，1]．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．