Question

9．三棱锥B-ACD的每个顶点都在表面积为16π的球O的球面上，且AB⊥平面BCD，△BCD为等边三角形，AB=2BC，则三棱锥B-ACD的体积为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由s=4πR²=16，得球半径R=2，如图设BC=m，则AB=2m，设O₁是△BCD的中心，O是球心，则BO₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$，过O作OH⊥AB于H，则H为AB中点，OO₁=HB=m，在直角三角形OO₁B中，OO₁²+BO₁²=OB²，
解得m即可．

解答 解：由s=4πR²=16，得球半径R=2，
如图设BC=m，则AB=2m，
设O₁是△BCD的中心，O是球心，则BO₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$，
过O作OH⊥AB于H，则H为AB中点，∴OO₁=HB=m，
在直角三角形OO₁B中，OO₁²+BO₁²=OB²，
m²+$\frac{1}{3}{m}^{2}=4$，解得m=$\sqrt{3}$，
∵△BCD的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，AB=2m=2$\sqrt{3}$，
三棱锥B-ACD的体积为v=$\frac{1}{3}×{s}_{△BCD}×AB=\frac{3}{2}$．
故选：C

点评 本题考查了球与三棱锥的组合体，关键是找准相应位置关系．属于中档题