Question

18．若命题“任意x∈R，ax²+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是a≥1．

Answer 1

分析 由任意x∈R，ax²+2x+a≥0，可知当a=0时，不等式化为x≥0，不合题意；当a≠0时，则有不等式左边的二次三项式所对应的二次函数开口向上，且判别式小于等于0，由此列不等式组求解．

解答 解：∵任意x∈R，ax²+2x+a≥0，
∴当a=0时，不等式化为x≥0，不合题意；
当a≠0时，要使任意x∈R，ax²+2x+a≥0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{2}^{2}-4{a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥1．
∴实数a的取值范围是a≥1．
故答案为：a≥1．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查恒成立问题的求解方法，体现了“分类讨论”的数学思想方法，是中档题．