Question

11．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），C是函数f（x）图象的一个最高点．a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c）（sinC-sinA）=（a+b）sinB．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的$\frac{π}{3}$倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），
∴sinφ=0，∴φ=0，且$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=6，∴ω=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=Msin（$\frac{π}{6}$x）．
∵C是函数f（x）图象的一个最高点，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，
满足（a+c）（sinC-sinA）=（a+b）sinB，∴（a+c）（c-a）=（a+b）b，
整理可得$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
即cosC=-$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{2π}{3}$．
由题意可得CA=CB，∴∠A=$\frac{π}{6}$，设AB的中点为D，则CD⊥AB，且点D（3，0），点C（3，M），
根据tan∠A=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{M}{3}$，∴M=$\sqrt{3}$，∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$x）．
（Ⅱ）将函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，
可得y=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{6}$（x+1）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把横坐标伸长为原来的$\frac{π}{3}$倍，
得到函数g（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{3}{π}$•$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）的图象．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{8π}{3}$，
故函数g（x）的单调递减区间为[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A．还考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．