Question

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（　　）

• A． $\frac{19π}{3}$
• B． $\frac{22π}{3}$
• C． 19π
• D． 22π

Answer 1

分析 根据四棱锥的三视图知该四棱锥底面为矩形，高为$\sqrt{3}$的四棱锥；
还原出长方体，设该四棱锥的外接球球心为O，求出外接球的半径，
计算外接球的表面积．

解答 解：根据四棱锥的三视图，知该四棱锥底面为矩形，高为$\sqrt{3}$的四棱锥；
且侧面PAB⊥底面ABCD，如图所示；

还原出长方体是长为2，宽为1，高为$\sqrt{3}$．
设该四棱锥的外接球球心为O，则
过O作OM⊥平面PAB，M为△PAB的外心，
作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点；
∴OM=$\frac{1}{2}$，ON=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴外接球的半径满足
R²=ON²+AN²=${（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}$+${（\frac{\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}}{2}）}^{2}$=$\frac{19}{12}$，
∴外接球的表面积为
S=4πR²=4π×$\frac{19}{12}$=$\frac{19π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了由空间几何体三视图求几何体外接球的表面积的应用问题，是综合性题目．