Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}{b}$．
（1）将函数$f（x）=sin（{2x+φ}）（{0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的图象向右平移角A个单位可得到函数g（x）=-cos2x的图象，求φ的值；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}{b}$利用正弦定理求解出角A大小，根据三角函数图象的平移变换即可求解φ的值．
（2）根据△ABC的外接圆半径为1，利用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式可得△ABC面积的最大值．

解答 解：由$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}{b}$和正弦定理可得：$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}=\frac{2sinC-sinB}{sinB}$，
整理得：sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA，即sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．
将函数$f（x）=sin（{2x+φ}）（{0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的图象向右平移角A个单位，可得：sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+φ]．
由题意可得：sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+φ]=-cos2x，即sin（2x-$\frac{2π}{3}$+φ）=sin（2x-$\frac{π}{2}$），
∴φ$-\frac{2π}{3}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
∴φ=$\frac{π}{6}$+2kπ（k∈Z），
∵0＜φ$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
（2）根据△ABC的外接圆半径为1，A=$\frac{π}{3}$，
∴2RsinA=a，即a=$\sqrt{3}$．
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，可得：3=b²+c²-bc，
即3+bc≥2bc，可得bc≤3，当且仅当b=c是取等号．
∴△ABC面积的最大值$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数图象的平移变换，正弦定理和余弦定理，基本不等式等知识点的灵活运用和计算能力．