Question

11．若$\int_1^e{\frac{2}{x}dx=a}$，则${（{x-\frac{a}{x}}）^6}$展开式中的常数项为-160．

Answer 1

分析 根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项的值．

解答 解：若$\int_1^e{\frac{2}{x}dx=a}$，
则2lnx${|}_{1}^{e}$=2（lne-ln1）=2，即a=2，
∴${（x-\frac{2}{x}）}^{6}$展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•${（-\frac{2}{x}）}^{r}$=（-2）^r•${C}_{6}^{r}$•x^6-2r，
令6-2r=0，解得r=3；
∴展开式的常数项为：
T₄=（-2）³•${C}_{6}^{3}$=-160．
故答案为：-160．

点评 本题考查了二项式展开式的通项公式与定积分的计算问题，是基础题目．