Question

20．某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是$\frac{1}{3}$，则它的表面积是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据三视图得出该几何体是正方体的内接正三棱锥，画出图形求出三棱锥的棱长，
利用面积公式求出几何体的表面积．

解答 解：如图所示，
该几何体是正方体的内接正三棱锥；
设正方体的棱长为a，
则几何体的体积是
V=a³-4×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a²•a=$\frac{1}{3}$a³=$\frac{1}{3}$，
∴a=1，
∴三棱锥的棱长为$\sqrt{2}$，
因此该三棱锥的表面积为
S=4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×${（\sqrt{2}）}^{2}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方体的内接正三棱锥表面积的计算问题，关键是根据三视图得出几何体的结构特征．