Question

11．等差数列{a_n}中a₂=5，a₆=21．
（1）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）设${b_n}=\frac{2}{{{S_n}+5n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式，可得首项和公差的方程，即可得到所求通项公式和前n项和S_n；
（2）求得${b_n}=\frac{2}{{{S_n}+5n}}$=$\frac{2}{2{n}^{2}-n+5n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，
由a₂=5，a₆=21，
即为a₁+d=5，a₁+5d=21，
解得d=4，a₁=1
可得{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3，
S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1）；
（2）${b_n}=\frac{2}{{{S_n}+5n}}$=$\frac{2}{2{n}^{2}-n+5n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
则数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{2n+4}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，注意运用方程思想，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．