Question

16．某市渭河的某水域有夹角为120°的两条直线河岸l₁，l₂（如图所示）：在该水域中，位于该角平分线且距A地相距1公里的D处有座千年古亭，为保护古亭，沿D所在直线BC建一河堤（B，C分别在l₁，l₂上，河堤下方有进、出水的桥洞）；现要在△ABC水域建一个水上游乐城，如何设计AB、AC河岸的长度，AB、AC都不超过5公里（不妨令AB=x公里，AC=y公里）．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
（2）求该游乐城的面积至少可以有多少平方公里，此时AB、AC是如何设计的．

Answer 1

分析 （1）由S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC，将y表示成x的函数，由0＜y≤5，0＜x≤5，求其定义域；
（2）$S=\frac{1}{2}xysin120°=\frac{{\sqrt{3}{x^2}}}{{4（{x-1}）}}（{\frac{4}{5}≤x≤5}）$，变形，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）设AB=x，AC=y（单位：公里）
∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}xysin120°=\frac{1}{2}xsin60°+\frac{1}{2}ysin60°$
即x+y=xy∴$y=\frac{x}{x-1}$
又∵$\left\{\begin{array}{l}0＜x≤5\\ 0＜y≤5\end{array}\right.$∴，$\frac{4}{5}≤x≤5$，∴所求定义域为$\left\{{x\left|{\frac{4}{5}≤x≤5}\right.}\right\}$
（2）由（1）知令游乐城面积为$S=\frac{1}{2}xysin120°=\frac{{\sqrt{3}{x^2}}}{{4（{x-1}）}}（{\frac{4}{5}≤x≤5}）$
$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥4，当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$，即$x=2∈[{\frac{5}{4}，5}]$时，上式取等号．
∴x=y=2时，S取最小值$\sqrt{3}$．
答：当AB、AC长都设计为2公里时，游乐城的面积至少为$\sqrt{3}（{≈1.732}）$平方公里．

点评 本题考查的是利用基本不等式解决实际问题，考查三角形面积的计算，正确计算面积，利用基本不等式是关键．