Question

6．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{21}{16}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{85}{64}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{341}{256}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 此五个正三角形的边长a_n形成等比数列：2，1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$．再利用等比数列的求和公式即可得出这五个正三角形的面积之和．

解答 解：此五个正三角形的边长a_n形成等比数列：2，1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$．
∴这五个正三角形的面积之和=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$（{2}^{2}+{1}^{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{6}}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{4×（1-\frac{1}{{4}^{5}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{341}{256}\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了等边三角形的性质与面积计算公式、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．