Question

17．已知曲线C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}}\right.（t为参数）$．
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）已知点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l的距离的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意直接写出曲线C的参数方程，消去参数t可得直线l的普通方程；
（2）设点P的坐标为（2cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l的距离d，由辅助角公式化简后，由正弦函数的最值求出点P到直线l的距离的最大值及最小值．

解答 解：（1）∵曲线C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，
∴曲线C的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），
∵直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}}\right.（t为参数）$．
∴消去t得，直线l的普通方程为：2x+y-6=0；（5分）
（2）设点P的坐标为（2cosθ，3sinθ），则点P到直线l的距离设为d，
则$d=\frac{{|{4cosθ+3sinθ-6}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}|{6-5sin（θ+ϕ）}|}}{5}$（其中$tanϕ=\frac{4}{3}$）
∵-1≤sin（θ+φ）≤1，
∴${d_{max}}=\frac{{11\sqrt{5}}}{5}$，${d_{min}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
即点P到直线l的距离的最大值及最小值分别为：$\frac{11\sqrt{5}}{5}$、$\frac{\sqrt{5}}{5}$．（10分）

点评 本题考查参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离公式，辅助角公式，以及正弦函数的最值的应用，考查化简、变形能力．