Question

7．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，${B_1}{E_1}={D_1}{F_1}=\frac{{{A_1}{B_1}}}{4}$，则BE₁与DF₁所成角的余弦值是$\frac{15}{17}$．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，表示出向量$\overrightarrow{{BE}_{1}}$、$\overrightarrow{{DF}_{1}}$，求出$\overrightarrow{{BE}_{1}}$、$\overrightarrow{{DF}_{1}}$所成角的余弦值即可．

解答 解：建立空间直角坐标系如图所示，

设正方体的边长为1，由${B_1}{E_1}={D_1}{F_1}=\frac{{{A_1}{B_1}}}{4}$，
则B（1，1，0），D（0，0，0），
E₁（1，$\frac{3}{4}$，1），F₁（0，$\frac{1}{4}$，1），
则$\overrightarrow{{BE}_{1}}$=（0，-$\frac{1}{4}$，1），
$\overrightarrow{{DF}_{1}}$=（0，$\frac{1}{4}$，1），
$\overrightarrow{{BE}_{1}}$•$\overrightarrow{{DF}_{1}}$=-$\frac{1}{16}$+1=$\frac{15}{16}$，
|$\overrightarrow{{BE}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{DF}_{1}}$|=$\sqrt{\frac{1}{16}+1}$=$\frac{\sqrt{17}}{4}$；
∴$\overrightarrow{{BE}_{1}}$、$\overrightarrow{{DF}_{1}}$所成角的余弦值是：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{{BE}_{1}}•\overrightarrow{{DF}_{1}}}{|\overrightarrow{{BE}_{1}}|×|\overrightarrow{{DF}_{1}}|}$=$\frac{\frac{15}{16}}{\frac{\sqrt{17}}{4}×\frac{\sqrt{17}}{4}}$=$\frac{15}{17}$．
故答案为：$\frac{15}{17}$．

点评 本题考查了空间两条直线所成角的运算问题，可以利用空间向量进行求解，是基础题．