Question

12．如图1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB=3，DC=1，∠DPB=45°，DA⊥PB于点A，将△PAD沿AD折起，构成如图2所示的四棱锥P-ABCD，点M的棱PB上，且PM=$\frac{1}{2}$MB．
（1）求证：PD||平面MAC；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）在四棱锥P-ABCD中，连接BD交AC于O，连接OM，由△DOC∽△AOB，得$\frac{DO}{OB}=\frac{DC}{AB}$，结合已知可得$\frac{DO}{OB}=\frac{1}{2}$，又PM=$\frac{1}{2}$MB，即$\frac{PM}{MB}=\frac{1}{2}$，得到PD∥OM，再由线面平行的判定可得PD||平面MAC；
（2）由DA⊥PA，且平面PAD⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，得到PA⊥平面ADC，再证明DC⊥PD，然后利用等积法求点A到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：在四棱锥P-ABCD中，连接BD交AC于O，
连接OM，∵DC∥AB，∴△DOC∽△AOB，则$\frac{DO}{OB}=\frac{DC}{AB}$，
∵PB=3，DC=1，∠DPB=45°，DA⊥PB于点A，得AB=2，
∴$\frac{DO}{OB}=\frac{1}{2}$，又PM=$\frac{1}{2}$MB，即$\frac{PM}{MB}=\frac{1}{2}$，
∴PD∥OM，
∵PD?平面MAC，OM?平面MAC，
∴PD||平面MAC；
（2）解：∵DA⊥PA，且平面PAD⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，则PA⊥平面ADC，
又AD⊥DC，平面PAD⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面PAB，则DC⊥PD，
${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，${S}_{△PDC}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
设点A到平面PBC的距离为d，
由V_P-ADC=V_A-PDC，得$\frac{1}{3}•{S}_{△ADC}•PA=\frac{1}{3}•{S}_{△PDC}•d$，
∴$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}•d$，解得：d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．