Question

2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，$a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则b+c的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 利用b²+c²-a²=bc，代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，再利用正弦定理求得b、c，利用两角和差的正弦公式化简b+c的解析式，结合正弦函数的定义域和值域，求得b+c 的范围．

解答 解：△ABC中，∵b²+c²-a²=bc，∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$，B+C=$\frac{2π}{3}$．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，∴∠B为钝角．
∵$a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=1=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB
=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$），∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴b+c 的范围为$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$，
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．