Question

12．已知函数f（x）=x•|x|-2x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）画出y=f（x）的图象，并结合图象写出方程f（x）=m有三个不同实根时，实数m的取值范围；
（4）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）对于函数f（x），先分析其定义域，进而分析可得f（-x）=-f（x），即可证明函数f（x）为奇函数；
（2）令f（x）=0，x•|x|-2x=0，解可得x的值，由函数零点的定义，即可得答案；
（3）将f（x）的解析式变形可得f（x）=x•|x|-2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，据此作出函数的图象；若方程f（x）=m有三个不同实根，则函数f（x）的图象与直线y=m有三个不同的交点，由图象可得实数m的取值范围；
（4）由图象，分析可得函数的单调区间，即可得答案．

解答 解：（1）函数f（x）为奇函数，
证明：对于函数f（x）=x•|x|-2x，其定义域为R，关于原点对称；
任取x∈R，-x∈R，
有f（-x）=-x•|-x|+2x=-x•|x|+2x，而-f（x）=-x•|x|+2x，
f（-x）=-f（x），
函数f（x）为奇函数；
（2）令f（x）=0，x•|x|-2x=0，
所以x（|x|-2）=0，
解得x=0或|x|=2
所以函数的零点为-2，0，2；
（3）f（x）=x•|x|-2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，其图象如图：
若方程f（x）=m有三个不同实根，则函数f（x）的图象与直线y=m有三个不同的交点，
由图象可得实数m的取值范围为（-1，1）；
（4）f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），f（x）的单调递减区间为（-1，1）．

点评 本题考查分段函数的应用，涉及函数的奇偶性、单调性的判定，零点的求法，关键是理解函数的奇偶性、单调性以及零点的定义．