Question

5．已知圆C：x²+y²+4x+3=0，若直线y=kx-1上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围为-$\frac{4}{3}$≤k≤0．

Answer 1

分析 将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，由题意可得以C为圆心，1为半径的圆与直线y=kx-1有公共点，即圆心到直线y=kx-1的距离小于等于1，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集，即可得到k的范围．

解答 解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+2）²+y²=1，∴圆心C（-2，0），半径r=1，
∵直线y=kx-1上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C：（x+2）²+y²=1与y=kx-1有公共点，
∵圆心（-2，0）到直线y=kx-1的距离d=$\frac{|-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，求得-$\frac{4}{3}$≤k≤0，
故答案为：-$\frac{4}{3}$≤k≤0．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．