Question

（本小题满分12分）

已知如图(1)，正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）.

(Ⅰ) 求二面角B-AC-D的大小；

(Ⅱ) 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值.

 

Answer 1

【答案】

(1) . (2) k＝

【解析】

试题分析：解：(Ⅰ) 过D点作DG⊥AC于G，连结BG，

∵ AD⊥CD, BD⊥CD,

∴ ∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.

∴ ∠ADB=, 即BD⊥AD.

∴ BD⊥平面ADC. ∴ BD⊥AC.

∴ AC⊥平面BGD. ∴ BG⊥AC .

∴ ∠BGD是二面角B-AC-D的平面角.

在ADC中，AD=a, DC=, AC=2a,

∴ .

在Rt△BDG中，.

∴ .

即二面角B-AC-D的大小为.   

(Ⅱ) ∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角.

∵ ，∴ .

又DC=, ，

∴

 

∴ .

∴ . 解得 k＝.

考点：异面直线所成的角，以及二面角度求解

点评：解决该试题的关键是能利用定义求作角，结合三角形来求解得到结论，属于基础题。