Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若x₁＞x₂＞0，求证：

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x 2 1 + x 2 2

．

Answer 1

分析：（1）先求出g（x）=ln（x-1）-x（x＞-1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．
（2）本小题转化为

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立，进一步转化为(

lnx

x

)max≤a≤(x+

1

x

)min，然后构造函数h（x）=

lnx

x

，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知x+

1

x

≥2，从而可知a的取值范围．
（3）本小题等价于ln

x1

x2

＞

2• x2 x1 -2

( x1 x2 )2-1

 ．令t=

x1

x2

，设u（t）=lnt-

t-2

t2+1

，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x 2 1 + x 2 2

．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx，
∴g（x）=f（x+1）-x=ln（x+1）-x，x＞-1，
∴g′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．
（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，
∴

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立，
进一步转化为(

lnx

x

)max≤a≤(x+

1

x

)min，
设h（x）=

lnx

x

，则h′(x)=

1-lnx

x2

，
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）≤

1

e

．
要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥

1

e

．
另一方面，当x＞0时，x+

1

x

≥2，
要使ax≤x²+1恒成立，必须a≤2，
∴满足条件的a的取值范围是[

1

e

，2]．
（3）当x₁＞x₂＞0时，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x 2 1 + x 2 2

等价于ln

x1

x2

＞

2• x1 x2 -2

( x1 x2 )2+1

 ．
令t=

x1

x2

，设u（t）=lnt-

2t-2

t2+1

，t＞1
则u′(t)=

(t2-1)(t+1)2

t(t2+1)2

＞0，
∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴u（t）＞u（1）=0，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x 2 1 + x 2 2

．

点评：本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、换元法、等价转化思想的合理运用．