Question

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2），f(x)=lo

g

(x+1) 2

，则f（-2011）+f（2012）=（　　）

• A．1+lo

  g

  3 2

• B．-1+lo

  g

  3 2

• C．-1
• D．1

Answer 1

分析：由对于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），可得当x≥0时函数的周期为T=4，然后由函数为偶函数可得f（-2 010）+f（2 011）=f（2）+f（-1）=-f（0）+f（1），代入可求．

解答：解：由对于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），
∴有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数的周期为T=4
∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，x∈[0，2），f（x）=log₂（x+1）
∴f（-2010）+f（2011）
=f（2）+f（-1）
=-f（0）+f（1）=
=-f（0）+f（1）=-log₂1+log₂（1+1）=1．
故选D

点评：本题考查了函数性质：函数的奇偶性、函数的周期的综合运用，及转化的思想在解题中的运用，解答本题的关键是熟练掌握函数的性质及一些常用的反映函数性质的结论．