Question

在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，且a₅=9，S₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）若数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，求2T_n≥

2012

2013

的最小正整数n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）利用裂项求和即可得出T_n，进而可求出n的值．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由已知得

a1+4d=9 2a1+2d 2 ×3=9

解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
由2T_n≥

2012

2013

，得2×

n

2n+1

≥

2012

2013

，
∴n≥1006．
∴满足2T_n≥

2012

2013

的最小正整数n=1006．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式、裂项求和的方法是解题的关键．